글쓴이: leejaeyul (이재율)
날 짜: Fri Aug 5 07:28:10 2005
제 목: 피타고라스정리와 복소수 존재형식
leejaeyul5@yahoo.co.kr
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이재율(02-882-0830)
우리는 논문이 완성될 수 있도록 많은 도움 주신 여러분들을 잊지 아니하며, 항상 감
사한 마음을 가지고 있을 것입니다.
첨부 : Pythagorean theorem and Complex numbers Existence Form. 1부. 끝.
이재율이 글을 드립니다.
제목 : 피타고라스 정리와 복소수 존재 형식
(Pythagorean theorem and Complex numbers Existence Form)
1. 요약
X^n+Y^n=Z^n 에서, n 이 2 일 경우에, 3, 4, 5 등의 특별한 자연수인 피타고라스
수가 식을 만족시키는 사실은, 오래전부터 알려져 왔다. 유명한 피타고라스 정리는
n 이 2 일 경우에, 직각 삼각형에서 3 변의 길이가 식을 잘 만족시킴을 분명하게 보
여준다. 그러나 n 이 1 이나 2 일 경우에, 자연수들만으로서 식을 만족시킬 수 있는
이유에 대하여서는, 명확하게 규명된 것은 아니라고 할 수 있다. 또한 n 이 3 이상
자연수의 경우에 X, Y, Z 모두가 정수로 되어서는, 이 식을 만족시킬 수 없음도 역
시 잘 알려진 사실이다. n 이 3 이상 자연수의 경우 X, Y, Z 모두 정수로서는 식을
만족시킬 수 없음에 대하여, 페르마는 아름다운 증명을 발견하였다고 하였으나, 그
의 증명 내용은 기록되어 있지 아니 하여서, 전혀 알 수가 없다. 그리고 이에 대한
프린스턴 대학 와일즈 교수의 170쪽 복잡 난해한 증명을 일반 보편적인 증명으로 간
주하기는 어렵다고 사료된다. 우리는, X, Y, Z 상호 간의 차로서 A=Z-Y, B=Z-X 등에
유의하여, 이들 상호 관계에서, X, Y, Z 에 관한 복소수의 존재 형식을 발견한 것이
다.
2. 주요용어
Z=Y+A=X+B. a=A^(1/n). b=B^(1/n). X=ax. Y=by. G={x-a^(n-1)}/b={y-b^(n-1)}/a
.
X=abG+a^n. Y=abG+b^n. Z=abG+a^n+b^n.
(abG+a^n)^n+(abG+b^n)^n=(abG+a^n+b^n)^n. G={2-2^(1/n)}/{2^(1/n)-1}*a^(n-2).
3. 본문
X^n+Y^n=Z^n 에서,
Y+A=Z,
X+B=Z 로 둔다.
이들 상호 관계식을 다음과 같이 간략하게 명시한다.
X^n+Y^n=(Y+A)^n 에서,
X^n=nAY^(n-1)+…………+nA^(n-1)Y+A^n 이 되고,
X^n+Y^n=(X+B)^n 에서,
Y^n=nBX^(n-1)+…………+nB^(n-1)X+B^n 이 된다.
상기 식
X^n=nAY^(n-1)+…………+nA^(n-1)Y+A^n 에서,
x^n=nY^(n-1)+…………+nA^(n-2)Y+A^(n-1),
a^n=A 로 두어,
X=ax 가 되도록 하고,
마찬가지로 상기 식
Y^n=nBX^(n-1)+…………+nB^(n-1)X+B^n 에서,
y^n=nX^(n-1)+…………+nB^(n-2)X+B^(n-1),
b^n=B 로 두어,
Y=by 가 되도록 한다.
이상의 관계식들로부터
Z=ax+b^n=by+a^n 이 되고,
{x-a^(n-1)}/b={y-b^(n-1)}/a 가 된다.
다음과 같이 G 를 정한다.
G={x-a^(n-1)}/b={y-b^(n-1)}/a.
여기에서
x-a^(n-1)=bG,
y-b^(n-1)=aG 가 되고,
ax=abG+a^n,
by=abG+b^n 이 된다.
따라서
X=abG+a^n,
Y=abG+b^n,
Z=abG+a^n+b^n 이 되는 것이다.
이들을
X^n+Y^n=Z^n 에 대입함으로서,
(abG+a^n)^n+(abG+b^n)^n=(abG+a^n+b^n)^n 과 같은 복소수 존재 형식이 된다.
350 년 전, 페르마는 매우 아름다운 증명을 발견하였다고 말한 바 있다. 우리는
페르마가 이 식을 발견하였을 것으로 믿고 있다.
(abG+a^n)^n+(abG+b^n)^n=(abG+a^n+b^n)^n 에서,
n 이 1, 2 일 경우에는, G 가 0, 2^(1/2) 으로 확정됨에 비하여,
n 이 3 이상일 경우에는, G=F(a,b) 와 같이 표현될 수밖에 없다.
n=1 일 경우에는,
G=0 이 됨으로서,
abG=0 이 되어, 복소수 존재 형식은
a+b=a+b 와 같이 되고,
X=a,
Y=b,
Z=a+b 로 되는 수들이 존재한다.
n=2 일 경우에는,
G=2^(1/2) 이 됨으로서,
abG=2^(1/2)ab 가 되어, 복소수 존재 형식은
{2^(1/2)ab+a^2}^2+{2^(1/2)ab+b^2}^2={2^(1/2)ab+a^2+b^2}^2 과 같이 되고,
2^(1/2)ab 를 유리수로 만들 수 있는, 아래에 제시된 다양한 a, b 와 같이,
X=2^(1/2)ab+a^2,
Y=2^(1/2)ab+b^2,
Z=2^(1/2)ab+a^2+b^2 으로 되는 유리수들이 존재할 수 있게 된다.
--------------------------------------------------------------------
a b abG A B X Y Z
1 2^(1/2) 2 1 2 3 4 5
1 2(2)^(1/2) 4 1 8 5 12 13
1 3(2)^(1/2) 6 1 18 7 24 25
1 4(2)^(1/2) 8 1 32 9 40 41
1 5(2)^(1/2) 10 1 50 11 60 61
1 6(2)^(1/2) 12 1 72 13 84 85
1 7(2)^(1/2) 14 1 98 15 112 113
1 8(2)^(1/2) 16 1 128 17 144 145
1 9(2)^(1/2) 18 1 162 19 180 181
0.1 0.1(2)^(1/2) 0.02 0.01 0.02 0.03 0.04 0.
05
0.1 0.2(2)^(1/2) 0.04 0.01 0.08 0.05 0.12 0.
13
0.1^(1/2) 0.2^(1/2) 0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0
.5
10^(1/2) 20^(1/2) 20 10 20 30 40 50
---------------------------------------------------------------------
n=3 일 경우에는,
복소수 존재 형식은
G^3-6abG-3(a^3+b^3)=0 과 같이 정리 될 수가 있다.
n=4 일 경우에는,
복소수 존재 형식은
G^4-12a^2b^2G^2-12ab(a^4+b^4)G-2(3a^4b^4+a^8+b^8)=0 과 같이 정리될 수가 있다.
n 이 5 이상 모든 자연수의 경우에도,
(abG+a^n)^n+(abG+b^n)^n=(abG+a^n+b^n)^n 을 풀어서 이와 같이 정리 정돈된 식을 명
시할 수는 있다.
이상과 같이 n 이 3 이상 모든 자연수의 경우에는,
복소수 존재 형식을 풀어서 정리 정돈하여 명시할 수는 있으나, 특수한 경우를 제외
하고서는 고차 방정식의 일반해를 구할 수가 없는 만큼,
a, b 이원함수로 나타나게 될 수밖에 없는
G=F(a,b) 의 고차 일반식을 여기에 명시하지는 못한다.
복소수 존재 형식에서 구하여져야만 하는
G=F(a,b) 의 고차 일반식을 여기에 명시하지는 못하지만,
G=F(a,b) 에 있는 a, b 의 계수들에 관하여서는 정의할 수가 있는 것이다.
G=F(a,b) 에서는 a 와 b 를 서로 바꾸어도 똑 같은 식이 될 수밖에 없는 것이며,
a=b 의 경우에는, 다음과 같은
G=F(a,b)=F(a,a) 를 구할 수가 있다.
a=b 로 두면, 복소수 존재 형식
(abG+a^n)^n+(abG+b^n)^n=(abG+a^n+b^n)^n 은,
2{G+a^(n-2)}^n={G+2a^(n-2)}^n 으로 간명하게 정리 정돈 될 수가 있으며,
G={2-2^(1/n)}/{2^(1/n)-1}*a^(n-2) 이 될 수 있는 것이다.
그리고 여기에 명시되지는 못하지만,
G=F(a,b) 에 있는 a, b 의 계수들에 관하여 다음과 같이 설명할 수 있는 것이다.
a=b 로 두고서 이 계수들을 정리할 수도 있을 것이며, 이 계수들은 결과적으로
{2-2^(1/n)}/{2^(1/n)-1} 로 될 수 있는 복소수가 되어야만 한다.
유리수들만의 가감승제 계산 정리 정돈으로서는 필연적으로 유리수만을 얻을 수 있음
은 자명한 사실이다. 따라서 여기에 명시되지 못하는
G=F(a,b) 에 있는 a, b 의 계수들을 간명하게 정리 정돈하게 되면,
{2-2^(1/n)}/{2^(1/n)-1} 이 될 수가 있어야 함으로,
a, b 의 계수들은 절대로 유리수들만으로는 이루어질 수가 없게 되는 것이다.
결론을 말한다.
G=F(a,b) 에 있어야만 하는 a, b 의 계수들은 간명하게 정리 정돈될 경우에는,
{2-2^(1/n)}/{2^(1/n)-1} 과 같이 될 수 있어야만 하며,
n 이 1 일 경우에는, G 는 0 이 되고,
n 이 2 일 경우에는, G 는 2^(1/2) 이 되어,
다양한 a, b 로서 유리수인 X, Y, Z 를 만들어 낼 수가 있지만,
n 이 3 이상의 모든 자연수에서는,
어떠한 a, b 로서도
(abG+a^n)^n+(abG+b^n)^n=(abG+a^n+b^n)^n 을 만족시키는 유리수 X, Y, Z 는 절대로
만들어 낼 수가 없게 되는 것이다. 끝.
